Black Scholes Model BREAKING Down Modelo Black Scholes O modelo Black Scholes é um dos conceitos mais importantes na teoria financeira moderna. Foi desenvolvido em 1973 por Fisher Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda é amplamente utilizado em 2016. É considerado como uma das melhores maneiras de determinar preços justos de opções. O modelo Black Scholes requer cinco variáveis de entrada: o preço de exercício de uma opção, o preço atual da ação, o prazo de vencimento, a taxa livre de risco e a volatilidade. Além disso, o modelo pressupõe que os preços das ações seguem uma distribuição lognormal porque os preços dos ativos não podem ser negativos. Além disso, o modelo pressupõe que não há custos de transação ou impostos, a taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos. A venda a descoberto de títulos com o uso de receitas é permitida e não há oportunidades de arbitragem sem risco. Fórmula de Black-Scholes A fórmula de opção de chamada Black Scholes é calculada multiplicando o preço da ação pela função de distribuição de probabilidade normal padrão cumulativa. Posteriormente, o valor presente líquido (VPL) do preço de exercício multiplicado pela distribuição normal padrão cumulativa é subtraído do valor resultante do cálculo anterior. Na notação matemática, C SN (d1) - Ke (-rT) N (d2). Por outro lado, o valor de uma opção de venda pode ser calculado usando a fórmula: P Ke (-rT) N (-d2) - SN (-d1). Em ambas as fórmulas, S é o preço das ações, K é o preço de exercício, r é a taxa de juros livre de risco e T é o prazo de vencimento. A fórmula para d1 é: (ln (SK) (r (volatilidade anualizada) 2 2) T) (volatilidade anualizada (T (0,5)). A fórmula para d2 é: d1 - (volatilidade anualizada) (T (0,5)). Limitações Como mencionado anteriormente, o modelo de Black Scholes é usado apenas para preços de opções europeias e não leva em consideração que as opções americanas poderiam ser exercidas antes da data de validade. Além disso, o modelo assume dividendos e as taxas livres de risco são constantes, mas isso pode não ser verdade na realidade. O modelo também pressupõe que a volatilidade permanece constante em relação à vida das opções, o que não é o caso, porque a volatilidade flutua com o nível de oferta e demanda. Simulação de Carlo Carlo com GBM Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de um portfólio, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável de um portfólio dado um intervalo de confiança em um horizonte temporal especificado - sempre precisamos especificar dois Condições para VaR: confiança e horizonte. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites de Volatilidade e Introdução ao Valor em Risco (VAR) - Parte 1 e Parte 2). Neste artigo, analisaremos um MCS básico aplicado a um preço de ações. Precisamos de um modelo para especificar o comportamento do preço das ações e use um dos modelos mais comuns em finanças: movimento browniano geométrico (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de abordagens diferentes para simulação, começaremos aqui com os mais básicos. Onde começar Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de ensaios aleatórios produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são: 1. Especificar um modelo (por exemplo, movimento geométrico browniano) 2. Gerar ensaios aleatórios 3. Processar a saída 1. Especificar um modelo (por exemplo, GBM) Neste artigo, usaremos o movimento geométrico Browniano (GBM) Que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH): a informação de preços passados já está incorporada e o próximo movimento de preços é condicionalmente independente dos movimentos de preços passados . (Para mais informações sobre EMH, leia Trabalhando através da Hipótese do Mercado Eficiente e O que é a Eficiência do Mercado) A fórmula para o GBM é encontrada abaixo, onde S é o preço das ações, m (o M grego) é o retorno esperado. S (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, t é o tempo, e e (Epsilon grego) é a variável aleatória. Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações S multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo: O primeiro termo é uma deriva e o segundo O termo é um choque. Para cada período de tempo, nosso modelo assume que o preço irá diminuir pelo retorno esperado. Mas a deriva será chocada (adicionada ou subtraída) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão s multiplicado por um número aleatório e. Esta é simplesmente uma maneira de dimensionar o desvio padrão. Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada passo é um drift plusminus um choque aleatório (em si, uma função do desvio padrão do estoque):
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